矩阵分析

范数和极限

用$\mathbb{R}^n\mathbb{C}^n$表示n维度实复向量空间,$\mathbb{R}^{m \times n}\mathbb{C}^{m\times n}$表示m行n列实复矩阵空间，设$\bm{x} = x_1, x_2, \cdots , x_n^T \in \mathbb{R}^n$,其长度可以定为$\bm{x}=\sum_{j=1}^nx^2_j^{1/2}$

定义1.1 如果在$\mathbb{R}^n$中定义了实值函数，记为$\cdot$,满足

1. $\bm{x} \geq 0$,当前仅当$x=0$时$\bm{x} = 0$
2. 对于任意$a \in \mathbb{R}^n, a\bm{x}=a\bm{x}$
3. 对于任意$\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{R}^n$,恒有三角不等式$\bm{x} + \bm{y} \leq \bm{x} + \bm{y}$,
   则称$\bm{x}$为$\bm{x}$的范数，也成为模

向量长度满足上述条件1和2是显然的，只需要证明满足第三条,证明过程如下

对于任意的$\bm{x}, \bm{y} \in \mathbb{R}^n$,有
$$\bm{x} + \bm{y}^2 = \bm{x} + \bm{y}, \bm{x} + \bm{y} = \bm{x}, \bm{x} + 2\bm{x},\bm{y} + \bm{y}, \bm{y}$$

利用Cauchy不等式$x,y \leq xy$,d导出
$$\bm{x} + \bm{y}^2 = \bm{x}^2 + 2\bm{x}\bm{y} + \bm{y}^2 \leq \bm{x} + \bm{y}^2$$c从而三角不等式成立,

$\mathbb{R}^n$中最常用的范数还有1范数和$\infty$范数
$$\bm{x}_1=\sum_{j=1}^nx^2_j \\\bm{x}_{\infty}=\max \set{x_1, x_2, \cdots, x_n}$$

定理1.1 给定非奇异矩阵 $bm{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, 则对于$\mathbb{R}^n$中的任意范数$\bm{x}$, $\bm{x}_{\bm{A} } = \bm{Ax}$定义了$\mathbb{R}^n$中的一种新范数

定理1.2 设$\bm{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$为正定对称矩阵，则$\bm{x}_{\bm{A^{1/2} } } = \bm{Ax,x}^{1/2}$定义了$\mathbb{R}^n$中的一种范数