线性空间

映射

定义： 设$X,$Y是两个非空集合，如果存在一个对应法则$f$，使得对X中每个元素$x$按照法则$f$,在Y中有唯一确定的元素$y$与之对应，那么成$f$为从X到Y的映射，记作$f:X \rightarrow Y$,
其中$y$被称为元素$x$在映射$f$下的像，并记作$fx$即$y=fx$，
元素$x$称为元素$y$的一个原像，
集合$X$称为映射的定义域，
$X$中所有元素的像所组成的集合被称为函数的值域,记作$F_f$或者$fx$

映射相等: 两个映射的定义域和对应法则皆相等

设$f$是从集合X到集合Y的映射

1. 若Y中的任意元素都是X中某个元素的像，则称映射为满射
2. 若对X中任意两个不同元素他们的像不相同，则称映射为单射
3. 若映射即满足满射又满足单射则称为一一映射或者双射

设有两个映射$g:X \rightarrow Y_1$, $g:Y_2 \rightarrow Z$, 且$Y_1 \subset Y_2$,则有映射$g$和$f$可以定义一个从X到Z的一个对应法则，
$$f\cdot g : X \rightarrow Z，f \cdot g = f[gx] , x \in X$$
这个映射则被称为复合映射或者乘积映射

设$f$是X到Y的单射，则由定义，对每个$y \in R_f$有唯一的$x \in X$，适合$fx=y$,于是我们可以定义一个从$R_f$到X的映射$g$，即$$g:R_f \rightarrow X$$
对每个$y \in R_f$规定$gy=x$，x满足$fx=y$，则这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$
按照上述定义，只有单射才存在逆映射

若数集P中任意连个数做某一运算的结果仍然在数集P中，我们称数集P对这个运算是封闭的
如果数集P中包含0和1，且对加减乘除（除数不为0）均封闭，我们称数集是一个数域

矩阵

有$m \times n$个数$a_{ij}$排列成的m行n列的数表
$$\left [\begin {matrix}a_{11} & b_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & b_{22} & ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{m1} & b_{m2} & ... & a_{mn}\end {matrix}\right ]$$
称为m行n列的矩阵，简称$m \times n$矩阵
行数和列数都等于n的矩阵被称为n阶矩阵或n阶方阵

只有1行的矩阵被称为行矩阵或者行向量
只有1列的矩阵被称为列矩阵或者列向量

对于列行向量而，向量的模$\bold a = \sqrt{a_x^2 + a_x^2 + \dots+ a_x^n}$

两个矩阵的行数和列数相等时称两个矩阵为同型矩阵
如果两个矩阵式同型矩阵且对应元素也相对则称为矩阵相等
元素都是零的矩阵被称为零矩阵
对于一个n阶方阵，除了对角线的元素为1，其他位置的元素为0的矩阵称为单位矩阵,用符号E表示
不在对角线上的元素都是0的方阵被称为对角矩阵记作$diag\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n$

对于一个n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得
$\bold A \bold B = \bold B \bold A = \bold E$
则说矩阵A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵或者正交矩阵，记作$\bold A^{-1}$逆矩阵是唯一的

满足${\bold A}^T = \bold A$, 则称矩阵为对称矩阵，特点是：元素以对角线为对称轴对应相等
满足${\bold A}^T = -\bold A$, 则称矩阵为反对称矩阵

向量空间

定义： 设V使一个非空集合，$\mathbb F$是一个数域，在集合V的元素定义了一种代数运算，叫做加法，即给出一个法则，对V中任意的两个元素$\alpha, \beta$，在V中都有一个确定的元素$\gamma$与之对应，称为$\alpha$和$\beta$的和，记作$\gamma = \alpha + \beta$,在数域和集合V的元素之间定义了一种运算，叫做数乘（数量乘法），即对数域中的任一数k与集合V中的任一元素$\alpha$，在V中都有唯一确定的元素$\delta$与之相对应，则称为k与$\alpha$的数量乘积，记作$\delta = k \alpha$,如果加法和数乘运算满足以下运算规则，则称V是数域$\mathbb F$上的向量空间或者线性空间

1. $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
2. $\alpha + \beta + \gamma= \alpha + \beta + \gamma$
3. 在V中存在元素$\theta$，对V中任意元素满足$\theta + \alpha$存在零元素
4. 对V中任意元素$\alpha$，对V中任意元素满足$\alpha + \beta = \theta$有负元素
5. $1 \alpha = \alpha$
6. $kl\alpha = kl\alpha$
7. $k + l\alpha = k \alpha + l \alpha$
8. $k\alpha + \beta = k\alpha + k\beta$

定义： 给定向量组$A:\bold a_1, \bold a_2, ..., \bold a_n$,对于任意一组实数$k_1, k_2, ..., k_n$满足表达式
$$k_1 \bold a_1 + k_2 \bold a_2 + ... +k_n \bold a_n$$
称为向量组的一个线性空间，$k_1, k_2, ..., k_n$叫做线性组合的系数

给定向量组$A:\bold a_1, \bold a_2, ..., \bold a_n$,和向量$\bold b$，如果存在一组实数$\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n$满足下式
$$\bold b = \lambda_1 \bold a_1 + \lambda_2 \bold a_2 + ... +\lambda_n \bold a_n$$
则向量b是向量组 A 的线性组合，也称向量b能有向量组A线性表示

定义：给定向量组$A:\bold a_1, \bold a_2, ..., \bold a_n$,存在一组实数$k_1, k_2, ..., k_n$满足表达式
$$k_1 \bold a_1 + k_2 \bold a_2 + ... +k_n \bold a_n = \bold 0$$
则称向量组A是线性相关的，否则线性无关

定义 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量$a_1, a_2, ..., a_r$，满足

1. 向量组$A_0：a_1, a_2, ..., a_r$线性无关
2. 向量组A中任意r+1（如果存在）个向量都线性有关
   那么向量组$A_0$是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含向量个数为向量的秩，记作$R_A$
   只含有零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为零

定义 如果在线性空间V中存在n个线性无关的向量$\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n$,但不存在更多数目的线性无关向量，则称向量$\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n$为线性空间V的一组基底，简称基，称线性空间V的维数为n,记作$\dim V = n$

若线性空间V中存在任意多个线性无关的向量，则称线性空间V是无限维的
规则只有零元这一个元素构成的线性空间是零维的，零维空间是没有基的

定义: 设V是数域$\mathbb F$上的有限维线性空间，$\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n$是V的一组基，对空间中任意向量$\beta$均可由$\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n$线性表示，即存在数域上$\mathbb F$中的数$x_1, x_2, \dots, x_n$使得$\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \dots + x_n \alpha_n$ = $[\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n] \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix}$成立，则称列向量$\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix}$为$\beta$在基$\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n$上的坐标