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线性子空间

定义 设V是数域F\mathbb F上的线性空间，W是V的非空子集，若W对V上的加法和数诚法运算仍然是封闭的，那么W是V的线性子空间，简称子空间

对任意线性空间V，有V中的单个零元构成的集合，一定是V的一个子空间，整个线性空间也是V的一个子空间，我们把这两个子空间称为平凡子空间，其他的子空间称为V的非平凡子空间

设V是数域F\mathbb F上的线性空间,α1,α2,…,αn∈V\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n \in V,这些向量的全部线性组合构成的集合W=k1α1+k2α2+⋯+knαnW = {k_1\alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \dots + k_n \alpha_n}一定是V的一个子空间，并把这个子空间称为由α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n张成的子空间，记为L[α1,α2,…,αn]L[\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n]也记为span[α1,α2,…,αn]span[\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n]

设V1,V2V_1, V_2是线性空间V的两个子空间，则子空间V1∩V2V_1 \cap V_2成为子空间的交空间
设V1,V2V_1, V_2是线性空间V的两个子空间，则子空间x+y∣x∈V1,y∈V2{x + y x \in V_1, y \in V_2}成为子空间的和空间

定义 设V和V'是数域F\mathbb F上的两个有限维线性空间，若存在一个双射g:V→V′g: V \rightarrow V'对∀α,β∈V\forall \alpha,\beta \in V和∀k∈F\forall k \in \mathbb F,有

  1. gα+β=gα+gβg\alpha + \beta = g\alpha + g\beta
  2. kgα=gkαkg\alpha = gk \alpha

则称线性空间V和V'是同构的，gg为同构映射

内积空间

定义 设V是数域F\mathbb F上的线性空间，如果V中每对向量x,yx,y按照某一对应法则都有确定的数x,y∈Fx,y \in \mathbb F与之对应，且满足

  1. x,y=x,y‾x,y = \overline{x,y}
  2. λx,y=λ‾x,y\lambda x,y = \overline{\lambda}x,y
  3. x+y,z=x+z+y+zx + y , z=x + z + y+ z
  4. x,x≥0x,x \geq 0,当x为零元时等号成立

则称x,yx,y为x,yx,y的内积，定义了内积运算的线性空间被称为内积空间

注：当F\mathbb F取复数域是，VFV\mathbb F为酋空间
注：当F\mathbb F取实数域是，VFV\mathbb F为欧几里得空间，简称欧式空间

定义 设V是欧式空间，xinV\bold x in V，则称∣∣x∣∣=x,x\bold x = \sqrt{\bold x,\bold x}为向量x\bold x的模或范数，如果模为1，则称为单位向量

欧式空间内的内积满足下式定理

  1. ∣∣kx∣∣=∣k∣∣x∣∣k \bold x = k\bold x
  2. ∣x,y∣≤∣∣x∣∣∣˙∣y∣∣\bold x,\bold y \leq \bold x \dot \bold y
  3. ∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣\bold x + \bold y \leq \bold x + \bold y

向量间的夹角为cos⁡θ=x,y∣∣x∣∣∣∣y∣∣\cos \theta = \frac{x,y}{xy}

定义 设V是欧式空间，x,y∈V\bold x,\bold y \in V,若x,y=0\bold x, \bold y = 0, 则称向量x和向量正交，记作x⊥y\bold x \perp \bold y

定义 设V是欧式空间,α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n是V中的非零向量组，如果α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n两两正交，则称α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n是正交向量组，若α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n是正交向量组，且它们都是单位向量，则将其称为标准正交向量组

定义 设α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n是空间中的一组基，且是标准正交向量组，则称α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n为欧式空间的标准正交基

线性子空间
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