数值计算方法

数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。

数值计算方法概述

数值计算方法的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、微分方程数值解等。

误差和有效数字

误差的来源

数值方法得到的是近似解．真解与近似解之间的偏差就是误差

• 模型误差： 数学模型和实际问题之间出现的误差
• 观测误差： 数学问题中一般会包含一些参量，他们的值往往都是有观测或者实验得到的，而观测或实验不可能是绝对准确，由此产生的误差
• 截断误差： 有简化问题所引起的误差称为截断误差或者方法误差
• 舍入误差： 用计算机作数值计算时，由于计算机的字长限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差这种误差成为舍入误差

绝对误差和相对误差

设$x^*$为准确值$x$的一个近似值，称$e = x - x^*$为近似值$x^*$的绝对误差，简称误差
由于准确值在一般情况下是未知的，绝对误差也就无法计算，但是可以根据测量或者计算的实际情况，估计出它的一个上界$\epsilon$,则
$$e = x - x^* \leq \epsilon$$
称$\epsilon$为近似值$x^*$的绝对误差限，简称误差限。

设$x^*$为准确值$x$的近似值，称绝对误差和准确值之比称为近似值$x^*$的相对误差

有效数字

如果数值运算取有限位进行，则数值位超过运算位长的部分将按四舍五入的原则舍入。如果近似值$x^*$的误差限时$0.5 \times 10^{-n}$，则称$x^*$准确到小数点后第n位，并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字

误差的传播

数值运算中由于所给数据的误差必然引起函数值的误差，这种数据误差的影响较为复杂．由微分学可知，当自变量的改变量（误差）很小时，函数的微分作为函数的改变量的主要线性部分可以近似等于函数的改变量，故利用微分运算公式可导出误差运算公式

两数和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和；
两数积、商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和；

误差的改善

• 选择数值稳定的算法
• 避免两个相近的数相减
• 避免大数“吃”小数现象
• 避免绝对值太小的数作除数
• 简化计算步骤，减少运算次数