Otsu（大津法）

OTSU算法，又被称为最大类间方差法（大津算法），是一种确定阈值的算法，是由日本学者大津展之于1979 年提出的。该方法常用于图像进行二值分割时的自适应阈值计算

它是按图像的灰度分布特性,将图像分成背景background和目标object两部分。分割的依据是两类之间的间类方差最大，即类别内的差异最小化

原理

我们对一副标准化图像，例如把图像的像素值映射到0-255，我们想通过一个阈值把图像像素值分为两类；
分别是类A小于 $\gamma$ 和类B大于等于 $\gamma$ 。那我们这个阈值取值于0-255，这里我们去阈值为整数，问题是我们怎样选取可以是的类A与类B之间的间类方差最大化。

前提条件：图像的像素值范围在0-255之间，且为整数

统计每个灰度值的像素个数，设 $n_i$ 为图像中灰度为i的像素的总数量,则能得到 $n_0,n_1,\cdots,n_{255}$
图像中像素为 $i$ 的概率为 $P_i=\frac{n_i}{n_0+n_1+\cdots+n_255}$ 且满足公式 $\sum^{255}_0P_i = 1$

假设我们的阈值为 $t$ 已知，则我们可以确定类A与类B之间的方差
对于类A来说，有像素被分配到类A的概率为： $P_At=\sum^t_0P_i$
A类像素的平均像素灰度值为 $m_At=\frac{\sum^t_0ip_i}{P_At}$

对于类B来说，有像素被分配到类A的概率为： $P_Bt=\sum^{255}_{t+1}P_i$
B类像素的平均像素灰度值为 $m_Bt=\frac{\sum^{255}_{t+1}ip_i}{P_Bt}$
且真个图像的像素的平均灰度值为 $m_G=\sum^{255}_{0}ip_i$

有上式可以得出
$P_At + P_Bt = 1 \quad \text{1式}\\P_At * m_At + P_Bt * m_Bt = m_G \quad \text{2式}$

且类A与类B的总体方差为

$\sigma^2 = P_At * {m_At - m_G}^2 + P_Bt * {m_Bt - m_G}^2 \quad \text{3式}$

将1式和2式带入3式中得出
$\sigma^2 = P_At * P_Bt * {m_At - m_Bt}^2$

由此，我们将间类方差表示为分割阈值 $t$ 的函数，下面我们只需要求解t使得方差最大即可，为此我们可以让 $t$ 遍历[0-255]，找到使最大的 $t$