基于傅里叶变换的去噪方法

空间域法主要包括点运算和局部运算两大类，变换域法主要在小波域或频域等变换域上进行操作，我们有很多种方法可以将图像
从空间域向变换域转换，其中，傅里叶变换是一种比较常见而且经典的方法。它是基于噪声的能量通常集中在高频部分，图像信号的频谱则集中在某个有限区间内这一理论，首先借助傅里叶变换将图像转换到变换域（这里指的是频域），然后借助某种操作修正该图像的频谱，修正之后再将其通过反变换回到空间域，通过这一系列操作便可以达到去除噪声的目的。

频域去噪方法

频域去噪算法就是将图像变换到频域上再进行处理，其基础是卷积理论。$gx,y=hx,y*fx,y$其中$fx,y$是待处理的函数，$hx,y$为线性位不变算子,$gx,y$为 $fx, y$与$hx, y$的卷积结果，转换到频域上为：
$$Gu,v=Hu,vFu,v$$

$Gu,v$，$Hu,v$，$Fu,v$分别对应$gx, y$，$hx, y$， $fx, y$的 X变换Fourier变换等。通常情况下，我们只要求知道Hu,v，就可以利用已知函数 $fx, y$求得$Gu,v$，并通过X反变换求得gx, y：
$$gx, y = X^{-1}[Hu,vFu,v]$$

1. 首先求取待去噪处理图像 $fx, y$的X变换，得到$Fu,v$；
2. 将上述求取的$Fu,v$与合适函数$Hu,v$相乘，得到$Gu,v$
3. 最后将$Gu,v$通过X反变换获得去噪后的图像

理想低通滤波

是指低于某截止频率的所有频率都可以通过，而高于该截止频率的频率则不能通过

$$Hu,v=\begin{cases}1 \space \space \space Du,v \leq D_0 \\0 \space \space \space Du,v \gt D_0\end{cases}$$
$D_0$为理想二维低通滤波器的截至频率,$Du,v$为从频率平面的原点到坐标点为$u,v$的距离，利用两点距离公式得$Du,v=\sqrt{u^2 + v^2}$

巴特沃思低通滤波

巴特沃思滤波器，又叫最大平坦滤波器，它最大的特点是通带和阻带并不是完全分开的，而是存在一个平滑的过渡带，所以相比理想低通滤波器而言，其处理后的图像比较平滑，不会出现抖动现象，去除图像噪声效果比较好
n阶巴特沃思低通滤波器的传递函数表达式:
$$Hu,v=\frac{1}{1+[\frac{Du,v}{D_0}]^{2n}}$$
$D_0$表示理想巴特沃思滤波器的截至频率，它是所选的传递函数$Hu,v$下降到最大值的$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍时对应点的值，$Du,v$表示从频率平面的原点到坐标点为$u,v$的距离。$Du,v=\sqrt{u^2 + v^2}$

指数低通滤波

因为是通过指数函数实现的，衰减速率相比其他滤波器更快，所以也存在比较平滑的过渡带，不会出现明显的抖动现象，

$$Hu,v=e^{-0.374[\frac{Du,v}{D_0}]^n}$$