行列式

二元线性方程组和二阶行列式

当且仅当分母不等于0时，存在唯一解

三阶行列式

$$\left \begin {matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end {matrix}\right \text{=}a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{23}a_{12} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23}$$

三阶行列式和二阶行列式遵从对角线法则

全排列及其逆序数

n个不同元素排成一列，叫做n个元素的全排列

逆序数

从n个元素中任取一个放在第一个位置，有n种取法
从n-1元素中任取一个放在第二个位置，有n-1种取
依次执行，直到最后一个元素放在第n个位置上只有1种取
所以，n个不同元素排成一列的所有排列的种数共有$n!$种

对于n个元素，先规定各个元素之间存在一个标准次序，然后在这n个元素中的任一排列中，当某一对元素的先后顺序于标准次序不同时，就够成一个逆序
所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。

奇排列： 逆序数为奇数的排列
偶排列： 逆序数为偶数的排列

示例

问: 求32514的逆序数
解: 3在最前面所以逆序数为0
2的前面有一个3比2大所以逆序数为1
5为最大数逆袭数为0
1位最小数逆序数为3
4位的逆序一个1
共计 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5

对换

在某一排列中，将任意2个元素兑换，其余元素不动，这种构造出新排列的手续叫对换
将相邻2个元素进行对换称为相邻对换

n阶行列式

设有n^2个数，排成n行n列的数表表示为
$$\left \begin {matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end {matrix}\right =\sum-1^ta_{1j}a_{2j}...a_{nj}$$
$a_{1j}a_{2j}...a_{nj}$是所有的排列数共有$n!$
t是某一个排列的逆序数

上下三角形行列式

主对角线以上或者以下的元素全为0的行列式

$$\left \begin {matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\0 & 0 & ... & a_{nn}\end {matrix}\right \text{=}a_{11}a_{22}...a_{nn}$$

对角行列式

主对角线以上和以下的元素全为0的行列式

$$\left \begin {matrix}a_{11} & 0 & ... & 0 \\0 & a_{22} & ... & 0 \\... & ... & ... & ... \\0 & 0 & ... & a_{nn}\end {matrix}\right \text{=}a_{11}a_{22}...a_{nn}$$

性质

转置

记
$$D =\left \begin {matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end {matrix}\right$$
则行列式D的转置行列式$D^T$为
$$\left \begin {matrix}a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn}\end {matrix}\right$$

性质1： 行列式和他的转置行列式相等
性质2： 互换行列式的两行列，行列式变号
推论1： 如果行列式有两行列相对，则行列式为0
性质3： 行列式的某一行列中所有元素都乘以同一个数k, 等与用k乘此行列式
推论2： 行列式中的某一行列中的公因子可以提取到行列式的外面
性质4： 行列式中如果有两行列元素成比例，则此行列式为0
性质5： 若行列式某一行列中的元素都是两数之和，则行列式可以分解为2个子行列式

$$\left \begin {matrix}a_{11} & a_{21} + b_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} + b_{22}& ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{1n} & a_{2n} + b_{2n}& ... & a_{nn}\end {matrix}\right \text{=}\left \begin {matrix}a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn}\end {matrix}\right \text{+}\left +\begin {matrix}a_{11} & b_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & b_{22} & ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{1n} & b_{2n} & ... & a_{nn}\end {matrix}\right$$

性质6： 把行列式中的某一行列中的元素乘以同一个数然后加到另一行列，行列式不变

定理1： 一个排列中的任意2个元素进行对换，排列的奇偶行发生变化
定理2： 奇排列对换成标准排列的次数为奇数,偶排列对换成标准排列的次数为偶数

行列式按照行和列展开

余子式

在n阶行列式中，把i,j元$a_{ij}$所在的第i行和第J列划去后，留下的n-1阶行列式叫做i,j元$a_{ij}$的余子式，记作$\bold M a_{ij}$

代数余子式

$\bold A a_{ij} = -1^{i + j}\bold M a_{ij}$叫做$a_{ij}$的代数余子式

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行中所有元素除i,j元$a_{ij}$外都是0，那么行列式等于$a_{ij}$与他的代数余子式的乘积$D = a_{ij}\bold A a_{ij}$

定理3 行列式等于他的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

$$D = a_{i1}\bold A a_{i1} + a_{i2}\bold A a_{i2} + ... + a_{in}\bold A a_{in}$$

推论3： 行列式中的某一行列中的元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和为0

克拉默法则

含有n个未知数$x_1,x_2,x_3,..., x_n$的n个线性方程组的方程组
$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{211}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\... \\a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n\end{cases}$$

如果线性方程组的系数行列式D不等于0,则方程组有唯一解
将D中的第i列元素换成右侧的常数项后得到的行列式为$D_i$
则$x_i = \frac{D_i}{D}$

当线性方程组的常数项全部为0时被称为齐次线性方程组，否则被称为非齐次线性方程组