矩阵的秩

给定一个$m \times n$的矩阵，它的标准形为
$$\begin{bmatrix}\bold E_r & \bold 0\\\bold 0 & \bold 0\end{bmatrix}$$
由数完全决定，这个数也是行阶梯形中的非零行的行数，这个数便是矩阵的秩

定义1： 在给定一个$m \times n$的矩阵A中，任取$k$行和$k$列，位于这些行列交叉处的$k^2$,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的$k$阶行列式，被称为矩阵A的$k$阶子式
$m \times n$的矩阵的$k$阶子式共有$C^k_mC^k_n$个

定义2：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有$r+1$如果存在阶子式全等于0。那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩，记作RA，并规定零矩阵的秩为零

对于n阶矩阵A,由于A的n阶子式只有一个$bold A$, 故当$\bold A \neq 0$，RA =n 。$\bold A = 0$, RA < n, 可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的秩，因此可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵奇异矩阵称为降秩矩阵

定理1： $\bold A$ ~ $\bold B$则RA = RB

线性方程组的解

设有n个未知数m个方程的线性方程组

$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\... + ... + ... + ... = ... \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \\\end{cases}\tag{1}$$
上式可以写为$$\bold A \bold x = \bold b\tag{2}$$
如果3式有解，则称它们是相容的，如果无解，则称它们是不相容的，利用系数矩阵和增广矩阵的秩，方便的讨论线性方程组是否有解

1. 无解 RA < RA,b
2. 有唯一解 RA = RA,b = n
3. 有无限解 RA = RA,b < n