逆矩阵

设给定一个线性变换

$$\begin{cases}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\... \\y_n = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n \\\end{cases}$$

它的系数矩阵式一个n阶矩阵$\bold A$
$$\bold X =\left [\begin {matrix}x_1 \\x_2 \\... \\x_n\end {matrix}\right ]\text{, }\bold y =\left [\begin {matrix}y_1 \\y_2 \\... \\y_n\end {matrix}\right ]$$
则上述变换可以记作
$$\bold A \bold X = \bold Y \tag{1}$$
以$\bold A$的伴随矩阵$\bold A^*$左乘上式两端
$\bold A^* \bold A \bold X = \bold A^* \bold Y$
$\bold A\bold E \bold X = \bold A^* \bold Y$
$\bold A\bold X = \bold A^* \bold Y$
当$\bold A \neq 0$,可解出
$$\bold X =\frac{1}{\bold A}\bold A^* \bold Y$$

令$\bold B =\frac{1}{\bold A}\bold A^*$则
$$\bold X = \bold B \bold Y \tag{2}$$
$\text{2}$式表示一个从Y到X的线性变换，称为$\text{1}$式的逆变换

对于一个n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得
$\bold A \bold B = \bold B \bold A = \bold E$
则说矩阵A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵，记作$\bold A^{-1}$逆矩阵是唯一的

定理1： 若矩阵A可逆，则$\bold A \neq 0$
定理2： 若$\bold A \neq 0$，则矩阵A可逆，且$\bold A^{-1} = \frac{1}{\bold A} \bold A^*$

当$\bold A \neq 0$时，$\bold A$称为奇异矩阵，否则被成为非奇异矩阵

1. 若矩阵可逆，$\bold A^{-1}^{-1} = \bold A$
2. 若矩阵可逆且$\lambda \neq 0, \lambda \bold A$可逆，$\lambda \bold A^{-1}= \frac{1}{\lambda}\bold A^{-1}$
3. 若A，B为同阶矩阵且均可逆$\bold A \bold B^{-1} = \bold B^{-1} \bold A^{-1}$
4. 若A可逆，且$\bold A^T$也可逆，则$A^T^{-1} = \bold A^{-1}^T$
5. 若A可逆, a,b为正数使，$\bold A^a\bold A^b = \bold A^{a + b}, \bold A^a^b = \bold A^{ab}$

速算二阶矩阵的逆矩阵

$$\left [\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right]$$

则逆矩阵为
$$\frac{1}{ad -bc}\left [\begin{matrix}d & -b \\-c & a\end{matrix}\right]$$