矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

初等行变换

1. 对调两行
2. 数$k\neq 0$乘某一行中的所有元素
3. 把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上

初等列变换

1. 对调两列
2. 数$k\neq 0$乘某一列中的所有元素
3. 把某一列的所有元素的k倍加到另一列对应的元素上

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,称矩阵A和矩阵B行等阶
如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,称矩阵A和矩阵B列等阶
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,称矩阵A和矩阵B等阶 $\bold A$ ~ $\bold B$

等价的性质

1. 反身性 $\bold A$ ~ $\bold A$
2. 对称性 若$\bold A$ ~ $\bold B$则$\bold B$ ~ $\bold A$
3. 传递性 若$\bold A$ ~ $\bold B$, $\bold B$ ~ $\bold C$则$\bold A$ ~ $\bold C$

行阶梯矩阵

可以画出一条阶梯线，线的下方全部为0，每个台阶只有一行，台阶数既是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元

行最简形矩阵

非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素均为0
解线性方程组的解只需要把增广矩阵化为行最简形矩阵

标准形

对行最简矩阵在施以初等列变换，可以变成一种形态更加简单的矩阵，称为标准形,特点是左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0

设$\bold A$, $\bold B$为$m \times n$矩阵则

定理1：$\bold A$ ~ $\bold B$的充要条件是存在m阶可逆矩阵使得$\bold P \bold A = \bold B$
定理2：$\bold A$ ~ $\bold B$的充要条件是存在n阶可逆矩阵使得$\bold A \bold Q = \bold B$
定理3：$\bold A$ ~ $\bold B$的充要条件是存在M阶可逆矩阵以及n阶可逆矩阵使得$\bold P \bold A \bold Q = \bold B$

由单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵叫做初等矩阵

设$\bold A$为$m \times n$矩阵
性质1： 对A执行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵
性质2： 对A执行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的m阶初等矩阵
性质3: 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得$\bold A = \bold P_1 \bold P_2 ... \bold P_m$