向量与空间解析几何

两向量的数量积

设$\bold a, \bold b$是两向量，且他们之间的夹角为$\theta$,称数$\bold a \cdot \bold b cos \theta$为向量的数量积，记作$$\bold a \cdot \bold b =\bold a \cdot \bold b cos \theta$$向量的数量积也称为向量的点积或者内积
表明： 若两个向量中至少有一个非零向量，则他们的数量积等于其中非零向量的模与另一个非零向量上的投影的乘积

从数量积的定义可以得出以下结论：

1. $\bold a \cdot \bold a = \bold a^2$
2. 若两向量的夹角为$\frac{\pi}{2}$则两向量垂直

数量积满足下述运算

1. 交换律 $\bold a \cdot \bold b = \bold b \cdot \bold a$
2. 分配律 $\bold a \cdot \bold b + \bold c = \bold a \cdot \bold b + \bold a \cdot \bold c$
3. 数乘结合律$\lambda \bold a \cdot \bold b = \lambda \bold a \cdot \bold b = \bold a \cdot \lambda \bold b$

向量的向量积

设$\bold a, \bold b$是两向量， 规定两向量的向量积为一向量，记作$\bold a \times \bold b$,它的模与方向分别为

1. 模长： $\bold a \times \bold b = \bold a\bold bsin \theta$
2. 方向: $\bold a \times \bold b$,同时垂直于$\bold a$, $\bold b$且3个向量满足右手规则，

向量的向量积又被称为叉积或者外积

向量积满足下述运算

1. 分配律
2. 数乘结合律

平面

1. 若点Mx,y,z在曲面Z上，则M的坐标满足方程Fx,y,z = 0
2. 若一组数x,y,z满足方程Fx,y,z = 0,则点在曲面Z上

则称Fx,y,z = 0为曲面Z的方程，曲面Z为方程Fx,y,z = 0的图形

平面的方程

点法式方程

若一个非零向量垂直与一平面，则称此向量是该平面的法向量， 显然，平面上的任一向量都与此平面的法向量垂直，由于过空间中一点可以做而且只能作一平面垂直于已知直线，因此，当给定平面$\pi$上一点$M_0x_0,y_0,z_0$和它的一个法向量$\bold nA,B,C$后，平面的位置就确定了$Ax-x_0 +By - y_0 + Cz-z_0 =0$

一般方程

$Ax + By + Cz + D = 0$

点到平面的距离

$$d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

两平面的位置关系

两平面的夹角：两平面的法向量的夹角被称为两平面的夹角（通常不取钝角）
$$cos \theta = \frac{\bold n_1 \cdot \bold n_2}{\bold n_1\cdot\bold n_2} = \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

空间直线

空间直线的方程

若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为该直线的方向向量

对称式方程

过点$M_0x_0,y_0,z_0$且以$\bold s=n,m,p$ 为方向向量的直线方程为$\frac{x -x_0}{m} = \frac{y -y_0}{n} = \frac{z -z_0}{p}$

参数方程

设$\frac{x -x_0}{m} = \frac{y -y_0}{n} = \frac{z -z_0}{p} = t$,则参数方程为
$$\begin{cases}x = x_0 + mt \\y = y_o + mt \\z = z_0 + mt\end{cases}$$

过直线的平面束

通过定直线的所有平面的全体称为平面束

曲面

空间曲面

一般地，我们把平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的曲面称为柱面， 定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线

旋转曲面

平面上的曲线C绕该平面上一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，定直线L叫做旋转曲面的轴，C称为母线

二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面

1. 椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
2. 抛物面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \pm z$
3. 双曲面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
4. 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$