矩阵及其计算

矩阵

有$m \times n$个数$a_{ij}$排列成的m行n列的数表
$$\left [\begin {matrix}a_{11} & b_{21} & ... & a_{n1} \\a_{12} & b_{22} & ... & a_{n2} \\... & ... & ... & ... \\a_{m1} & b_{m2} & ... & a_{mn}\end {matrix}\right ]$$
称为m行n列的矩阵，简称$m \times n$矩阵
行数和列数都等于n的矩阵被称为n阶矩阵或n阶方阵
只有1行的矩阵被称为行矩阵或者行向量
只有1列的矩阵被称为列矩阵或者列向量
两个矩阵的行数和列数相等时称两个矩阵为同型矩阵
如果两个矩阵式同型矩阵且对应元素也相对则称为矩阵相等
元素都是零的矩阵被称为零矩阵
对于一个n阶方阵，除了对角线的元素为1，其他位置的元素为0的矩阵称为单位矩阵
不在对角线上的元素都是0的方阵被称为对角矩阵记作$diag\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n$

矩阵的计算

矩阵的加法

设存在2个$m \times n$矩阵 A 和 B,那么矩阵A和B的和记作$\bold A + \bold B$

$$\left [\begin{matrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & ... & a_{1n} + b_{1n} \\a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & ... & a_{2n} + b_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & ... & a_{mn} + b_{mn}\end{matrix}\right ]$$

当2个矩阵为同型矩阵时，才可以进行加法运算

$$\bold A + \bold B = \bold B + \bold A\\\bold A + -\bold A = \bold 0$$

数与矩阵的乘法

数$\lambda$与矩阵A的乘积记作$\lambda \bold A$

$$\left [\begin{matrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & ... & \lambda a_{1n} \\\lambda a_{21} & \lambda a_{22}& ... & \lambda a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\\lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& ... & \lambda a_{mn}\end{matrix}\right ]$$

$$\lambda \mu \bold A = \lambda \mu \bold A \\\lambda \mu \bold A = \lambda \bold A + \mu \bold A \\\lambda \bold A + \bold B = \lambda \bold A + \lambda \bold B$$

矩阵的加法和乘法统称为矩阵的线性运算

矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换
$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = y_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = y_2 \\\end{cases}$$

$$\begin{cases}b_{11}t_1 + b_{12}t_2 = x_1 \\b_{21}t_1 + b_{22}t_2 = x_2 \\b_{31}t_1 + b_{32}t_2 = x_3\end{cases}$$
则y关于t的线性变换为

$$\begin{cases}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} +a_{13}b_{31}t_1 + a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}t_2 = y_1 \\a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} +a_{23}b_{31}t_1 + a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}t_2 = y_2\end{cases}$$

$$\left [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{matrix}\right ]\left [\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \\b_{31} & b_{32}\end{matrix}\right ]\text{=}\left [\begin{matrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} +a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} +a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}\end{matrix}\right ]$$

只有当第一个矩阵左矩阵的列数等于第二个矩阵右矩阵的行数时，2个矩阵才可以相乘

一般情况下$\bold A \bold B \neq \bold B \bold A$
如果$\bold A \bold B = \bold B \bold A$,则称矩阵A与B是可以交换的

$\bold A \bold B \bold C = \bold A \bold B \bold C$
$\lambda \bold A \bold B = \lambda \bold A \bold B = \bold A \lambda \bold B$
$\bold A \bold B + \bold C = \bold A \bold B + \bold A \bold C$

矩阵的转置

把矩阵A的行换成同系数的列得到的一个新矩阵，叫A的转置矩阵记做${\bold A}^T$
${\bold A}^T^T = \bold A$
$\bold A + \bold B^T = {\bold A}^T + {\bold B}^T$
$\lambda \bold A ^T = \lambda \bold A ^T$
${\bold A\bold B}^T = {\bold B}^T {\bold A}^T$

对称矩阵

满足${\bold A}^T = \bold A$, 则称矩阵为对称矩阵，特点是：元素以对角线为对称轴对应相等

方阵的行列式

有n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵的行列式
应当注意：n阶方阵是由$n^2$个数按照一定规则排成的数表，而n阶行列式是这些数表按照一定的运算规则所计算而确定的一个数

$\bold A^T = \bold A$
$\lambda \bold = \lambda^n \bold A$
$\bold A \bold B = \bold A \bold B$

伴随矩阵

方阵的行列式的各个元素的代数余子式$\bold A_{ij}$所构成的矩阵被称为伴随矩阵,记作$\bold A^*$

$$\left [\begin {matrix}\bold A_{11} & \bold A_{22} & ... & \bold A_{n1} \\\bold A_{12} & \bold A_{22} & ... & \bold A_{n2} \\... & ... & ... & ... \\\bold A_{1n} & \bold A_{2n} & ... & \bold A_{nn}\end {matrix}\right ]$$

$\bold A^* \bold A = \bold A^* \bold A =\bold A \bold E$