数学空间中的几何对象

距离空间

最短线距离：沿地球球面从一个城市到另一个城市的最短距离
球面曼哈顿距离：地球上两城市经度差与纬度差之和
旅行时间：城市间旅行（假定沿公路线旅行）所需的最短时间

欧氏空间

设 $d$ 为定义在集合 $R^n$ 上的距离函数， $d:R^n \rightarrow R$ 对于 $R^n$ 中的任意元素 $x,y$ 有 $d = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i - y_i^2}$ ,则 $E^n = R^n,d$ 称为欧氏空间。 $R^n$ 的每个元素称为空间 $E^n$ 中的点， $d$ 称为 $R^n$ 上的欧氏距离。当 $n=2,3$ 时，分别称为二维欧氏平面和三维欧氏空间。

点：欧氏平面的点由一实数对 $x,y$ 唯一确定， $x,y$ 分别为其横坐标和纵坐标值

通常也可以用矢量表示欧氏平面的点 $x,y$ ，即用从坐标原点到 $x,y$ 的有方向的线段表示点 $x,y$ ，所有这些点的集合称为笛卡尔平面, 记为 $R^2$ ,在笛卡尔平面中，允许下列对点的运算。

相加: $x_1,y_1＋x_2,y_2 = x_1+x_2， y_1＋y_2$
相减: $x_1,y_1-x_2,y_2 = x_1-x_2， y_1-y_2$
数乘: $kx_1,y_1= kx_1， ky_1$
求模: $d =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
矢量间的距离: $d =\sqrt{x_1 - x_2^2 + y_1 - y_2^2}$

更多内容可以参考线性代数的

拓扑空间

基本思想

一个基本的假设是所有的曲面都是由理想的弹性膜做成，可以随意延伸和收缩，但不允许折叠和撕裂。这种延伸和收缩就是拓扑变换

在拓扑空间中，欧氏平面可以想象成由理想弹性膜做成的平面，可以任意延伸和收缩。欧氏平面的一幅图经过任意延伸和收缩后，有些性质发生了变化，但另一些则不会变化。例如，一个多边形以及多边形内的一点，无论怎样延伸或收缩，这一点仍会在多边形内。而多边形的面积显然会发生变化。我们称前者为拓扑性质，后者为非拓扑性质。所谓拓扑性质就是拓扑变换下保持不变的性质。拓扑学研究拓扑变换及拓扑变换下的不变性

欧氏平面的常见拓扑和非拓扑性质

点集拓扑

设 $X$ 是一集合， $J$ 是 $X$ 的某些子集组成的集合，使得下列条件成立：

T1： $X \in J$

T2： $\emptyset \in J$

T3： $J$ 中任意有限个元素 $o_1, o_2, ..., o_n$ 的交集仍是 $J$ 中的元素，即 $o_1, o_2, ..., o_n \in J, n \in N$

T4： $J$ 中任意（有限或无限）个元素 $o_1, o_2, ..., o_n$ 的并仍是 $J$ 中的元素，即 $o_1 \cup o_2 \cup o_3 … \in J$

则称 $J$ 为 $X$ 上的一个拓扑， $X, J$ 称为一个拓扑空间。 $J$ 的每个元素称为拓扑空间 $X, J$ 的一个开集，当所涉及的只有 $X$ 上的一个拓扑 $J$ 时，我们也可以把 $X$ 称为拓扑空间， $T1,T2,T3,T4$ 称为开集公理

拓扑空间后续还需要专门深入