映射与函数

初等函数的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法

映射

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数时微积分的研究对象。也是映射的一种

定义： 设$X,$Y是两个非空集合，如果存在一个对应法则$f$，使得对X中每个元素$x$按照法则$f$,在Y中有唯一确定的元素$y$与之对应，那么成$f$为从X到Y的映射，记作$f:X \rightarrow Y$,
其中$y$被称为元素$x$在映射$f$下的像，并记作$fx$即$y=fx$，
元素$x$称为元素$y$的一个原像，
集合$X$称为映射的定义域，
$X$中所有元素的像所组成的集合被称为函数的值域,记作$F_f$或者$fx$$

映射相等: 两个映射的定义域和对应法则皆相等

设$f$是从集合X到集合Y的映射

1. 若Y中的任意元素都是X中某个元素的像，则称映射为满射
2. 若对X中任意两个不同元素他们的像不相同，则称映射为单射
3. 若映射即满足满射又满足单射则称为一一映射或者双射

逆映射和集合映射

设$f$是X到Y的单射，则由定义，对每个$y \in R_f$有唯一的$x \in X$，适合$fx=y$,于是我们可以定义一个从$R_f$到X的映射$g$，即
$$g:R_f \rightarrow X$$
对每个$y \in R_f$规定$gy=x$，x满足$fx=y$，则这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$
按照上述定义，只有单射才存在逆映射

设有两个映射$g:X \rightarrow Y_1$, $g:Y_2 \rightarrow Z$, 且$Y_1 \subset Y_2$,则有映射$g$和$f$可以定义一个从X到Z的一个对应法则，
$$f\cdot g : X \rightarrow Z，f \cdot g = f[gx] , x \in X$$
这个映射则被称为复合映射

函数

定义 设数集$D \in R$,则称映射$f:D \rightarrow R$为定义在D上的函数，通常记作$y=fx， x \in D$,其中x叫做自变量，y叫做因变量，D为定义域

函数的定义域通常按照一下两种情形来确定

• 有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定
• 抽象的用算式表达的函数 ，通常约定为使得算式有意义的一切实数组成的集合

表示函数的主要方法有三种

1. 表示法
2. 图形法
3. 解析法

常用函数

1. 绝对值函数
2. 符号函数
3. 取整函数
4. 分段函数：如果在函数的定义域内，自变量x在不同的取值范围内，函数有这不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数；分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

特性

• 函数的有界性

设函数$y = fx$的定义域为D，如果存在正数M，是的对于任意的$x \in D$有$fx \leq M$, 则称函数为有界函数，否则为无界函数

• 函数的周期性

设函数$y = fx$的定义域为D，如果存在不为0的常数T，对于任意的$x \in D$, 有 $x + T \in D$ 且使$fx + T = fx$ 恒成立，那么函数为周期函数，T称为函数的周期，通常把满足上式的最小正数称为最小正周期

• 函数的单调性

设函数$fx$在区间I有定义，如果任意的两个数$x_1,x_2 \in I$,
当$x_1 < x_2$时有$fx_1 < fx_2$, 则称函数在I上时单调递增的，
当$x_1 < x_2$时有$fx_1 > fx_2$, 则称函数在I上时单调递减的，

• 函数的奇偶性

设函数$y = fx$ 的定义域D关于原点对称，
如果对于任意的 $x \in D$,都有$f-x = -fx$,则称函数为奇函数
如果对于任意的 $x \in D$,都有$f-x = fx$,则称函数为偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数被称为非奇非偶函数

反函数

对于一对一函数，值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因此可以用函数$y$来表示自变量，例如$y = 2x + 1$，可以写成$x = \frac{y - 1}{2}$, 这样就构成一个以函数值$y$为自变量的新函数，叫做原函数反函数，
函数$fx$的反函数一般记作$f^{-1}x$

一般地，函数$fx$的图像与其反函数$f^{-1}x$的图像关于直线$y=x$对称

正弦函数$y = \sin x$在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上的反函数叫做反正弦函数记作$y = \arcsin x$,其定义域为$[-1,1]$,值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

余弦函数$y = \cos x$在$[0, \pi]$上的反函数叫做反余弦函数记作$y = \arccos x$,其定义域为$[-1,1]$,值域为$[0, \pi]$

正切函数$y = \tan x$在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上的反函数叫做反正切函数记作$y = \arctan x$,其定义域为$[-\infin,\infin]$,值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

初等函数

基本初等函数

1. 常函数 $y = c$
2. 幂函数 $y = x^{\mu}$
3. 指数函数 $y = a ^x$
4. 对数函数 $y = log_ax$
5. 三角函数 $y = sinx, y = cosx, y = tanx, y= cotx, y = secx, y = cscx$
6. 反三角函数 $y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx , y = arccotx$

复合函数

设函数$y = fu$且在D上有定义，而u是x的函数，$u = \varphi x$ 且定义域为D_1,若函数$u = \varphi x$的值域$\varphiD_1 \set D$, 则称此函数为$y = fu和u = \varphi x$复合而成的函数，简称复合函数，记作$y = f[\varphi x]$,其中u称为中间变量。

由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的，并且能够用一个式子表示的函数叫做初等函数

函数的运算

设函数$fx$和$gx$的定义域依次为$D_f,D_g, D = D_f \cap D_g \neq \emptyset$,则可以定义两个函数的元素

1. 和差运算 $f \pm gx = fx \pm gx$
2. 积 $f \cdot gx = fx \cdot gx$
3. 商 $\frac{f}{g}x = \frac{fx}{gx}$