得鹿梦鱼 得鹿梦鱼
知识库 前端技能树 面试题 学习资料 关于本人

不定积分

原函数

如果在区间I上,可导函数FxFx的导函数为fxfx即对任意x∈Ix \in I都有,F′x=fxF'x=fx则称FxFx是fxfx在区间I上的一个原函数

原函数存在定理: 如果函数fxfx在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数FxFx,对于任一x∈Ix \in I都有F′x=fxF'x = fx,简单来说就是连续函数一定有原函数

不定积分概念

在区间I上，函数fxfx的带有任意常数项的原函数称为fxfx在区间I上的不定积分，记作∫fxdx\int fxdx,其中∫\int成为积分号，fxfx称为被积函数，fxdxfxdx称为被积表达式

设FxFx是函数fxfx的一个原函数，则函数fx的所有原函数Fx+CFx + C称为函数fxfx的不定积分记作∫fxdx=Fx+C\int fxdx = Fx + C

因此，求已知函数的不定积分就归结为求出一个他的原函数，再加上任意常数C的过程

例1 求函数fx=3x2fx = 3x^2的不定积分: ∫3x2dx=x3+C\int 3x^2dx = x^3 + C

基本积分表

  1. ∫kdx=kx+C\int kdx = kx + C
  2. ∫xμdx=xμ+1μ+1+C\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C
  3. ∫dxx=ln∣x∣+C\int \frac{dx}{x} = lnx + C
  4. ∫dx1+x2=arctanx+C\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctanx + C
  5. ∫dx1−x2=arcsinx+C\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C
  6. ∫cosxdx=sinx+C\int cosx dx = sinx + C
  7. ∫sinxdx=−cosx+C\int sinx dx = -cosx + C
  8. ∫dxcos2x=∫sec2xdx=tanx+C\int \frac{dx}{cos^2x}= \int sec^2x dx = tanx + C
  9. ∫dxsin2x=∫csc2xdx=−cotx+C\int \frac{dx}{sin^2x} = \int csc^2x dx = -cot x + C
  10. ∫secxtanxdx=secx+C\int secxtanxdx = sec x + C
  11. ∫cscxcotxdx=−cscx+C\int cscxcotxdx = -csc x + C
  12. ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
  13. ∫axdx=axlna+C\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} + C

不定积分的几何意义

由于函数fxfx的不定积分中含有任意常数C，所以对于每个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应的就有一条确定的曲线，称为fxfx的积分曲线，因为C可以任意值，因此不定积分表示的一簇积分曲线，被称为积分曲线簇

例2 求经过点1,3且切线的斜率为2x的曲线方程，∫2xdx=x2+C\int 2xdx = x^2 + C将点代入，得y=x2+2y = x^2 + 2

不定积分的性质

  • ∫[kfx]dx=k∫fxdx\int [kfx]dx = k \int fxdx
  • ∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx\int [fx + gx]dx = \int fxdx + \int gxdx

不定积分
≡