定积分

定义

设函数$fx$在闭区间[a,b]上有界，将区间分成n个小区间，其长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i_1}$在每个小区间上任取一点$\xi_i$,做出乘积$f\xi_i$并做总和，如果当n无限增大，且$\Delta x_i \rightarrow 0$,综合的极限存在，且此极限与区间的分法以及点$\xi_i$的取法无关，则称函数$fx$在区间上时可积的，并将此极限称为函数在区间上的定积分，记为$\int^b_a fxdx$

定理1：设$fx$在区间$[a,b]$上连续，则$fx$在$[a,b]$上可积
定理2：设$fx$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$fx$在[a,b]上可积

性质

1. 代数和的积分等于积分的代数和$$\int^b_a [fx \pm gx]dx = \int^b_afxdx \pm \int^b_agxdx$$

2. $$\int^b_a kfxdx = k \int^b_afxdx$$

3. $$\int^b_a fxdx = \int^c_a fxdx + \int^b_c fxdx$$

4. 若$fx = 1$, 则$\int^b_a fxdx = b -a$, 若$fx = K$, 则$\int^b_a kdx = kb -a$

5. 若在区间内，有$fx \leq gx$,则
   $$\int^b_a fxdx \leq \int^b_a gxdx$$

牛顿-莱布尼茨公式

设函数$fx$为区间上的连续函数，且$Fx$是$fx$在区间上的一个原函数，则
$$\int^b_afxdx = Fb - Fa$$

换元法

假设函数$fx$在区间[a,b]上是连续的，函数$x = gt$满足条件

1. $g\alpha = a, g\beta = b$
2. $gt$在$[\alpha, \beta]$上具有连续导致，且值值域为[a,b]

则有

$$\int_b^a fxdx = \int_{\beta}^{\alpha} f[gt]g'tdt$$

分部还原法

$$\int_a^b udv = [uv]_a^b - \int_a^b vdu$$