函数的微分

设函数 $y = fx$ 在某区间内有定义， $x_0$ 以及 $x_0 + \Delta x$ 在这个区间内，如果函数的增量为 $\Delta y = f_0 + \Delta x - fx_0$ 则可表示为 $\Delta y = A \Delta x + o\Delta x$ ，其中A是不依赖与 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y = fx$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A \Delta x$ 叫做函数 $y = fx$ 在点 $x_0$ 相应与自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$ 记 $dy = A \Delta x$

如果函数 $fx$ 在点 $x_0$ 可微，那么 $fx$ 在点 $x_0$ 处也一定可导，且微分一定是 $dy = f'x_0\Delta x$

$\Delta y = dy + ody$ , $dy$ 是 $\Delta y$ 的主部， $dy$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，所有在 $f'x_0 \neq 0$ 的条件下，说 $dy$ 是 $\Delta y$ 的主部

函数 $y = fx$ 在任意点x的微分，称为函数的微分，记作 $dy$ 或者 $dfx$ 记 $dy = f'x \Delta x$

通常把自变量x的增量 $\Delta x$ 叫做自变量的微分，记作 $dx$ 换句话说就是，函数的微分 $\Delta y$ 与自变量的微分 $\Delta x$ 之商等于该函数的导数，因此导数也叫做微商

基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
$x^u' = ux^{u-1}$	$dx^u = ux^{u-1}dx$
$sinx' = cos x$	$dsinx = cosxdx$
$cosx' = -sinx$	$dcos = -sinxdx$
$tanx' = sec^2x$	$dtanx = sec^2xdx$
$cotx' = -csc^2x$	$dcot = -csc^2xdx$
$secx' = secxtanx$	$dsecx = secxtanx dx$
$cscx' = -cscxcotx$	$dcscx =-cscxcotxdx$
$a^x' = a^xlna$	$da^x = a^xlnadx$
$e^x' = e^x$	$de^x = e^xdx$
$log_a x' = \frac{1}{xlna}$	$dlog_a x = \frac{1}{xlna}dx$
$lnx' =\frac{1}{x}$	$dlnx = \frac{1}{x}dx$
$arcsinx' =\frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}$	$darcsinx = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}dx$
$arccosx' =-\frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}$	$darccosx = -\frac{1}{\sqrt{1 -x^2}}dx$
$arctanx' =\frac{1}{1 + x^2}$	$darctanx = \frac{1}{1 + x^2}dx$
$arccotx' =-\frac{1}{1 + x^2}$	$darccotx = -\frac{1}{1 + x^2}dx$

微分的运算法则

求导法则	微分法则
$u \pm v' = u' \pm v'$	$du \pm v = du \pm dv$
$Cu' = Cu'$	$dCu = Cdu$
$uv' = u'v + uv'$	$duv = vdu + udv$
$\frac{u}{v}' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$	$d\frac{u}{v} = \frac{vdu - udv}{v^2}$