高阶导数

一般的，函数$y = fx$的导数$y' = f'x$仍然是x的函数，我们$y' = f'x$的导数叫做$y = fx$的二阶导数，记作$y'' = \frac{d^2y}{dx}$

二阶导数的导数叫做三阶导数
三阶导数的导数叫做四阶导数
n-1阶导数的导数叫做n阶导数

函数$y = fx$具有n阶导数，那么常说函数$fx$为n阶可导，如果函数$fx$在点x处具有n阶导数，那么$fx$在点x的某一领域内必定具有一切低于n阶的导数，二阶以及二阶以上的导数统称为高阶导数

• $e^x$的n阶导数$e^x$
• $sin x$的n阶导数$sinx + \frac{n \pi}{2}$
• $cos x$的n阶导数$cosx + \frac{n \pi}{2}$
• $ln1 + x$的n阶导数$-1^{n - 1} \frac{n -1}{1 + x^n}$
• $x^n$的n阶导数$n!$
• $u \pm v$的n阶导数$u^n \pm v^{n}$
• $uv$的n阶导数$\sum^n_{k=0}C_n^k u^{n-k} v^{k}$ 数学归纳法

隐函数的导数

等号左端是因变量的符号，等号右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值，用这种方式表达的函数叫做显函数

例如方程$x + y^3 - 1 = 0$这样的方程被成为隐函数
一般的，如果变量x和y满足方程$Fx,y = 0$, 在一定的条件下，当x取某区间内的任一值时，相应的总有满足这个方程的唯一y值存在，那么就说方程$Fx,y = 0$在该区间内确定了一个隐函数

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化

相关变化率

两个相关依赖的变化率称为相关变化率