积分法

换元积分法

利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，被称为还原积分法，简称换元法

第一类换元法

设$fu$具有原函数，$u = gx$可导，则有换元公式

$$\int f[gx] g'xdx = [\int fudu]_{u=gx}$$

第二类换元法

设$x = ut$是单调的可导函数，并且$u't \neq 0$,又设$f[ut]u't$具有原函数则有
$$\int fxdx = [\int f[ut]u'tdt]_{t = u^{-1}x}$$
其中$u^{-1}x$为$x = ut$的反函数

分部积分法

$$\int udv = uv - \int vdu$$

例1：
$\int lnx dx = xlnx - \int x \frac{1}{x} = xlnx - x +C$

有理函数的积分

真分式的分解

设$P_nx, Q_mx$分别为n次和m次多项式，则$kx = \frac{P_nx}{Q_mx}$为有理函数，当$m \leq n$时，称为假分式，否则称为真分式。假分式总可以用“综合除法”化为一个真分式和一个多项式的和，真分式可用待定系数法化为部分分式之和，在确定系数时，一般可用两种方法：

1. 比较系数法: 比较恒等式两端x同次幂的系数
2. 代值法： 在恒等式中带入特殊的x值，

真分式的积分

有理函数的积分，是吧真分式分解为部分分式的代数和，然后逐项积分，这种方法也被称为分项积分法。

$$\int \frac{A}{x -a} dx = Alnx-a + C$$

$$\int \frac{A}{x - a^n} dx = -\frac{A}{n -1}\frac{1}{x-a^{n-1}} +C$$