极限

数列的极限

如果按照某一法则对每个$n \in N_+$，对应着一个确定的实数$x_n$，这些实数$x_n$按照下标n从下到大排列得到的一个序列$x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$就叫做数列，记作{$x_n$}

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或者通项

定义： 设{$x_n$}为一数列，如果存在常数a,对于任意给定的正数$\varepsilon$,总存在正整数N使得当$n > N$时，不等于$x_n - a < \varepsilon$都成立，那么称数a是数列的极限，或者数列收敛与a,记作$\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a$或者$x_n \rightarrow an \rightarrow \infty$

如果说不存在在这样的常数a,就说数列没有极限，或者说数列是发散的

注意： 定义中的正整数是与任意给定的正数$\varepsilon$的给定而选定

收敛数列的性质

1. 如果数列是收敛的，那么它的极限是唯一的
2. 如果数列是收敛的，那么它一定是有界的
3. 如果$\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a,且a >0或 a< 0$那么存在正整数N，当$n > N$时都有$x_n > 0$

函数的极限

定义： 在自变量的某个变化过程中，如果对应函数的函数值无限接近某个确定的数，那么这个确定的数就叫做这一变化过程中函数的极限

自变量的变化趋势分为两大类

• 自变量$x$的绝对值无限增大，记作$x \rightarrow \infin$
• 自变量$x$无限趋近于某个定值$x_0$,记作$x \rightarrow x_0$

类型

自变量趋于有限值时函数的极限

一般的，设$fx$在点$x_0$近旁有定义（在$x_0$点可以没有定义），如果当$x \rightarrow x_0$时，$fx$的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数$fx$当$x \rightarrow x_0$的极限，记作$\lim_{x \rightarrow x_0} fx = A$，
$x$从左侧趋近点$x_0$时的极限为左极限，记作$\lim_{x \rightarrow x_0^-} fx = A$
$x$从右侧趋近点$x_0$时的极限为左极限，记作$\lim_{x \rightarrow x_0^+} fx = A$

自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数$fx$当$x$大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数$\varepsilon$有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数$\varepsilon$总存在正数X，使得当$x \rightarrow \infty$时满足不等式$x > X$,对应的函数值$fx$满足不等式$fx -A < \varepsilon$，那么常数A叫做函数为自变量趋于无穷大时函数的极限

函数极限的性质

1. 如果函数的极限存在，那么这个极限唯一
2. 如何函数的极限存在，那么函数时有界的
3. 有界函数和无穷小的乘积也是无穷小

函数极限的运算

设$\lim_{x \rightarrow x_0} fx = A$, $\lim_{x \rightarrow x_0} gx = B, c$为常数

$$\lim_{x \rightarrow x_0} [fx \pm gx] = \lim_{x \rightarrow x_0} fx \pm \lim_{x \rightarrow x_0} gx = A \pm B$$

$$\lim_{x \rightarrow x_0} [fx \cdot gx] = \lim_{x \rightarrow x_0} fx \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} gx = A \cdot B$$

$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{fx}{gx} = \frac{\lim_{x \rightarrow x_0} fx}{\lim_{x \rightarrow x_0} gx} = \frac{A}{B}$$

$$\lim [cfx] = c\lim fx = cA$$

$$\lim [fx]^n = [\lim fx]^n = A^n$$

$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\sin x}{x} = e$$

$$\lim_{x \rightarrow x_0} 1 + \frac{1}{x}^x = e$$

准则

• 夹逼准则：

1：如果数列{$x_n$},{$y_n$},{$z_n$}满足下列条件，从某项起，存在$n_0 \in N$，当$n > n_0$时，有$y_n \leq x_n \leq z_n$且$\lim y_n = a$, $\lim z_n = a$,则$\lim x_n = a$,
2：如果x在某个去心领域中存在$gx \leq fx \leq hx$，且$\lim_{x \rightarrow x_0} gx = A$,$\lim_{x \rightarrow x_0} hx = A$, 则$\lim_{x \rightarrow x_0} fx = A$

• 单调有界数列必有极限

• 柯西极限存在准则

数列{$x_n$}收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\varepsilon$,存在正整数N使得当$m > N, n > N$时，有$x_n - x_m < \varepsilon$

连续

设函数$y=fx$在点$x_0$处及其近旁有定义，且$\lim_{x \rightarrow x_0} fx = fx_0$,则称函数$y = fx$在点$x_0$处连续，点$x_0$叫做函数$y = fx$的连续点

如果$\lim_{x \rightarrow x_0^-} fx = fx_0$,那么函数$y=fx$在点$x_0$左连续，如果$\lim_{x \rightarrow x_0^+} fx = fx_0$,那么函数$y=fx$在点$x_0$右连续
函数$y=fx$在点$x_0$连续的充要条件是函数在$x_0$处即左连续又右连续

在区间I上的每一个点都连续的函数，叫做在区间I上的连续函数

初等函数在其定义区间内都是连续函数

一般的，闭区间[a,b]上的连续函数$fx$具有下列性质

性质1 若函数$fx$在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间范围内一定有最大值和最小值
性质2 若函数$fx$在闭区间[a,b]上连续，m和M分别为$fx$在[a,b]上的最小值和最大值，则对介于m和M之间的任意实数C,至少存在一点$\xi \ina,b$,使得$f\xi = C$
性质3 若函数$fx$在闭区间[a,b]上连续,且$fa \cdot fb < 0$,则至少存在一点$\xi \ina,b$,使得$f\xi = 0$

性质

1. 连续函数的和差积商的也是连续的
2. 直接函数连续则反函数连续
3. 由连续函数复合而成的复合函数也连续
4. 基本初等函数在他们的定义域内都是连续的

闭区间上连续函数的性质

1. 有界性和最大值最小值定理： 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
2. 零点定理: 函数在闭区间的两个端点的函数值异号，则至少存在一点是函数值为0
3. 介值定理： 函数在闭区间的两个端点的函数值为A,B,则对于A,B之间的任意一个数C，在开区间内至少存在一点使得函数值为C