基本导数

导数的概念

设函数$y = fx$在点$x_0$的某个领域内有定义，当自变量x在$x_0$处取得增量$\Delta x$时，相应地，应变量取得增量$\Delta y = fx_0 + \Delta x - fx_0$,如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x \rightarrow 0$时的极限存在，那么称函数$y = fx$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y = fx$在点$x_0$处可导，称这个极限为函数$y = fx$在点$x_0$处的导数，记为$f'x_0$记

$$f'x_0 = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{fx_0 + \Delta x - fx_0}{\Delta x}$$
记作$y'_{x=x_0}$或者$\frac{dy}{dx}{x=x_0}$

函数$fx$在点$x_0$处可导有时也说成$fx$在点$x_0$处具有导数或者导数存在

如果函数$y = fx$在开区间I内的每个点出都可导，那么称函数$fx$在开区间I内可导，这时，对于任一$x \in I$，都对应这$fx$的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数$y = fx$的导函数，记作$y'$，$f'x$等

常见导数

• 常数导数为0
• 幂函数导数

$$fx = x^n \\f'x = nx^{n-1}$$

• 正弦函数的导数为余弦函数
• 余弦函数的导数为负的正弦函数
• 指数函数

$$fx = a^x \\f'x = a^x\ln a \\e^x' = e^x$$

• 对数函数

$$fx = log_a x \\f'x = \frac{1}{x \ln a}$$

$fx$在点$x_0$处可导的充要条件是左右极限都存在且相等，这两个极限分别称为函数$fx$在点$x_0$处的左导数和右导数，记作$f'\_x_0$以及$f'_{+}x_0$

左导数和右导数统为单侧导数

函数可导性与连续性的关系

可导一点连续，连续不一定可导

函数的求导法则

和、差、商、积的求导法则

• $[ux \pm vx]' = ux' \pm vx'$
• $[uxvx]' = ux'vx + uxvx'$
• $[\frac{ux}{vx}] = \frac{ux'vx - uxvx'}{v^2x}$
• $[Cux]' = Cu'x$
• $[tanx]' = sec^2x$
• $[secx]' = secx tanx$
• $[cotx]' = - cscx$
• $[cscx]' = -cscx cotx$

反函数的求导法则

如果函数$x = fy$在区间$I_y$内单调、可导且$f'y \neq 0$，那么它的反函数$y = f^{-1}x$在区间$I_x$内可导
$$[f^{-1}x]' = \frac{1}{f'y}$$

$arcsinx' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$arccosx' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$arctanx' = -\frac{1}{1 + x^2}$
$arccotx' = -\frac{1}{1 + x^2}$

复合函数的求导法则

如果$u = gx$在点x可导，而$y = fu$在点$u = gx$可导，那么复合函数$y = f[gx]$在点x可导,其导函数为
$$\frac{dy}{dx} = f'u \cdot g'x$$
或者
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$