多元函数微分法及其应用

由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组$x,y$之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组$x,y$与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元有序实数组$x,y$的全体，即$R²=RxR=x,y Ix,y \in R$就表示坐标平面
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集记作$E = x,y$

任意一点$p \in R^2$与任意一个点集$E\ in R^2$之间必然有以下三种关系

1. 内点
2. 外点
3. 边界点

设D是$R^2$的一个非空子集，称映射$f:D \rightarrow R$为定义在D上的二元函数通常记作$z = fx,y$

一般的把上述定义中的的平面点集换称n维空间的点集D，则$f:D \rightarrow R$就称定义在D上的多元函数

多元函数的极限

设二元函数$fp = fx,y$在定义域为D，$P_0x_0,y_0$是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的整数$\varepsilon$,总存在整数$\delta$，使得当点$Px,y \in D \cap \mathring{U}x_0, \delta$时都有
$$fP - A = fx,y - A < \varepsilon$$
成立，那么就称常数A为函数$fx,y$当$x,y \rightarrow x_0, y_0$时的极限，记作
$$lim_{x,y \rightarrow x_0, y_0} fx,y = A \text{或} fx,y \rightarrow Ax,y \rightarrow x_0, y_0$$

为了区别于一元函数的极限，我们吧二元函数的极限叫做二重极限

多元函数的连续性

设二元函数$fP = fx,y$的定义域为D,$P_0x_0,y_0$为D的聚点，且$P_0 \in D$,如果
$$lim_{x,y \rightarrow x_0, y_0} fx,y = fx_0, y_0$$
那么称函数$fx,y$在点$P_0x_0,y_0$连续

设二元函数$fP = fx,y$的定义域为D,$P_0x_0,y_0$为D的聚点，如果函数$fx,y$在点$P_0x_0,y_0$不连续，那么称$P_0x_0,y_0$的间断点

性质

1. 有界性和最大值与最小值定理
2. 介值定理

偏导数

设函数$z = fx,y$在点$x_0,y_0$的某一领域内有定义，当y固定在$y_0$而x在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量
$$fx_0 + \Delta x,y_0 - fx_0,y_0$$
如果

$$lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{fx_0 + \Delta x,y_0 - fx_0,y_0}{\Delta x}$$
存在，那么称此极限为函数$z=fx,y$在点$x_0,y_0$处对x的偏导数